Introdução

Quando o pesquisador possui controle sobre o experimento e seu interesse é determinar a região experimental que otimiza a variável resposta, a metodologia de superfície de resposta é uma técnica estatística bastante apropriada. Introduzida formalmente por Box e Wilson em 1951, os modelos de superfície de resposta assumem que a relação entre os fatores \(\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_p)\) (fixos) e a variável resposta \(\mathbf{y}\) (aleatória) é descrita por um modelo linear, definido por \[\mathbf{y} = f(\mathbf{x}) + \mathbf{\varepsilon}\] em que a verdadeira função \(f\) é usualmente desconhecida e \(\varepsilon\) é denominado de erro aleatório, isto é, representa outras fontes de variabilidade que não puderam ser controladas no experimento.

Na maior parte das situações a verdadeira relação entre \(\mathbf{y}\) e \(\mathbf{x}\) não é conhecida. Assim, aproximações obtidas por meio da expansão de Taylor da função \(f\) são consideradas. A aproximação mais simples, por exemplo, é o modelo de primeira ordem, o qual considera uma expansão de Taylor de primeira ordem. Devido sua simplicidade é comum o modelo de primeira ordem apresentar problemas de falta de ajuste, principalmente quando a região experimental apresenta alguma curvatura. Nestes casos, utiliza-se aproximações de ordem maiores. Em geral, modelos de segunda ordem são suficientes para descrever a superfície.

Outro aspecto relevante para determinar a forma funcional do modelo é a coleta dos dados, ou seja, o delineamento experimental. De forma geral, as propriedades desejáveis de um delineamento são:

• Rotabilidade: quando a mesma quantidade de informação sobre a superfície de resposta na mesma distância \(d\) independente da direção em relação ao ponto central do experimento.

• Ortogonalidade: quando os efeitos lineares, de interação, quadráticos ou ordem superiores do modelo são independentes.

Com o delineamento estabelecido e o modelo apropriado ajustado o próximo passo é determinar a região ótima ou então caminhar até uma região ótima. Para isso, técnicas matemáticas para determinação e caracterização da região ótima são utilizadas. Leitores interessados em uma discussão mais detalhada com aspectos teóricos sobre a metodologia de superfície de resposta podem acessar este trabalho.

Para ilustrar a aplicação da metodologia de resposta considere o experimento que envolve um procedimento para armazenamento de sêmen bovino. O objetivo é compreender sua eficácia. As condições experimentais são adições da porcentagem de citrato de sódio (\(x_1\)), porcentagem de glicerol (\(x_2\)) e o tempo de equilíbrio (\(x_3\)) em horas antes do congelamento com temperatura mantida a 5ºC. A variável resposta é porcentagem de espermatozoides móveis sobreviventes.

Para coleta dos dados os pesquisadores adotaram o delineamento Composto Central \(2^3\) com um ponto central e ponto axial \(\alpha = 2\) sem replicações.

O modelo final escolhido para descrever o experimento é dado por \[\widehat{y} = 57.769 -1.312z_1 -2.312z_2 + 9.125 z_1 z_2 -9.048z^2_{1} -11.423z^2_{2}\] em que \(z_i = \frac{x_i - m_i }{h_i}\) é o fator \(i\) codificado em -1 e 1, sendo que $ m_i $ denota a média entre o maior e menor valor observado do fator \(x_i\) e \(h_i\) é metade da diferença entre o maior e o menor valor observado.

Para estudar a região experimental ótima escrevemos o modelo final na forma canônica \[\widehat{y} = 58.06 - 5.520 w^2_{1} - 14.948w^2_{2}\] em que \(w_1 = -0.791(z_1 + 0.155) - 0.612(z_2 + 0.163)\) e \(w_2 = - 0.612(z_1 + 0.155) + 0.791(z_2 + 0.163)\).

Os dois autovalores são negativos, assim o ponto critico é máximo local, sendo ele \((z_1,z_2) = (-0.155,-0.163)\) ou na escala original dos fatores \((x_1,x_2) = (2.891,7.511)\). Uma representação gráfica da superfície de resposta estimada é ilustrada abaixo.