Introdução

Os modelos de regressão são uma ferramenta fundamental para todo analista de dados. Diversos fenômenos naturais ou antropogênicos podem ser descritos por algum modelo de regressão. Isso ocorre em geral, porque o interesse reside em investigar a relação entre uma variável resposta e demais variáveis (covariáveis) e então obter predições a partir da relação estabelecida.

Quando a variável resposta é limitada no intervalo \((0, 1)\) o clássico modelo de regressão sob suposição de erros normais é inapropriado. Uma solução bastante utilizada consiste em realizar alguma transformação na variável resposta de forma que ela assuma valores no conjunto dos \(\mathbb{R}\). Todavia, esta transformação compromete a interpretação dos parâmetros do modelo em termos da resposta original e os valores preditos pelo modelo podem extrapolar os limites do intervalo unitário.

Principais Modelos

Tendo em vista essa limitação alguns autores introduziram e ainda propõe alternativas de modo que as suposições empregadas condizem com a realidade do fenômeno. Em geral, os modelos de regressão paramétrico para respostas limitadas assumem que a variável resposta condicionada nas covariáveis segue alguma distribuição com suporte no \((0, 1)\).

A construção desses modelos é similar a classe dos Modelos Lineares Generalizados (MLG), entretanto a componente estocástica não pertence a família exponencial canônica, fato este que ocorre nos MLGs e proporcionou maior facilidade computacional para a estimação dos parâmetros do modelo, o que era crucial nas décadas de 70 e 80.

Seguramente a distribuição de probabilidade mais conhecida com suporte no \((0, 1)\) é a distribuição Beta. Na década de 2000, tanto Cepeda-Cuervo (2001) em sua tese de doutorado, quanto Ferrari e Cribari-Neto (2004) em artigo científico, propuseram uma parametrização da distribuição Beta de tal forma que um dos parâmetros denota a média da variável. Neste caso, a função densidade de probabilidade é definida por

\[\begin{equation}\label{eq:pdf-beta} f(y \mid \mu,\phi) = \dfrac{\Gamma(\phi)}{\Gamma(\mu\,\phi)\Gamma((1-\mu)\,\phi)}y^{\mu\phi-1}(1-y)^{(1-\mu)\phi-1} I_{(0, 1)}(y) \end{equation}\] em que \(\mu \in (0,1)\) denota a esperança, \(\phi>0\) o parâmetro de precisão e \(\Gamma(\cdot)\) a função gama.

Considerando a parametrização apresentada o modelo de regressão Beta assume que \(Y_i \sim \text{Beta}(\mu_i, \phi_i) , i = 1, \ldots, n,\) de tal forma que os parâmetros de média e precisão são definidos, respectivamente, por \[\begin{equation}\label{eq:link} g(\mu_i) = \mathbf{x}_i^\top\,\mathbf{\beta} \quad \mathrm{e} \quad h(\phi_i) = \mathbf{z}_i^\top\,\mathbf{\gamma} \end{equation}\] em que \(\mathbf{\beta} = (\beta_0, \ldots, \beta_{p-1})^\top\) e \(\mathbf{\gamma} = (\gamma_0, \ldots, \gamma_{k-1})^\top\) são, os vetores de parâmetros associados a média e precisão, respectivamente; \(\mathbf{x}_i\) e \(\mathbf{z}_i\) são os vetores de covariáveis associados a média e precisão do modelo na \(i\)-ésima observação, respectivamente; e \(g(\cdot)\) e \(h(\cdot)\) são funções de ligação apropriadas.

As funções de ligação devem ser duplamente diferenciáveis em relação aos parâmetros. A função de ligação \(g(\cdot)\) deve satisfazer \((0, 1) \rightarrow \mathbb{R}\), assim escolhas usuais são

1. \(\mathrm{logit}\): \(g(\mu_i) = \log\left(\mu_i / (1-\mu_i)\right)\);
2. \(\mathrm{probit}\): \(g(\mu_i) = \Phi^{-1}(\mu_i)\), em que \(\Phi^{-1}(\cdot)\) é o quantil da distribuição Normal padrão;
3. \(\mathrm{c}\log\)-\(\log\): \(g(\mu_i) = \log\left[-\log(1-\mu_i)\right]\).

Enquanto que a função \(h(\cdot)\) deve satisfazer \(\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}\), nesse caso é comum utilizar as funções logarítmica ou raiz quadrada.

Na década de 1990 o estatístico norueguês Bent Jorgensen estendeu a classe dos MLGs com os modelos de dispersão. Esta classe de modelos inclui a distribuição Simplex proposta em Barndorff-Nielsen e Jorgensen (1991), sendo uma interessante alternativa a distribuição Beta. Sua função densidade de probabilidade é dada por

\[ f(y\mid \mu, \phi) = \left[2\pi\phi^2\{y (1-y)\}^3\right]^{-1/2} \exp\left\{-\dfrac{1}{2 \phi^2} \left[\dfrac{(y - \mu)^2}{y (1 - y) \mu^2(1-\mu)^2}\right]\right\}I_{(0, 1)}(y) \] em que \(\mu \in (0, 1)\) denota a esperança e \(\phi >0\) o parâmetro de precisão.

O modelo de regressão Simplex segue a estrutura similar ao modelo Beta, onde os parâmetros \(\mu\) e \(\phi\) se relacionam com os preditores por meio de apropriadas funções de ligação \(g(\cdot)\) e \(h(\cdot)\).

Algumas Considerações

Sob o ponto de vista paramétrico diversos modelos de regressão para respostas limitadas vem sendo propostos na literatura. Tais modelos podem apresentar estrutura de regressão apenas para média, outros também modelam parâmetros de precisão ou forma. Além disso, há modelos que buscam compreender uma visão mais completa da variável resposta condicionada nas covariáveis por meio dos quantis, isto é, o parâmetro de interesse que esta relacionado as covariáveis é algum quantil \(\tau\).

Nos últimos dois anos juntamente com meu orientador professor Josmar Mazucheli, publiquei alguns artigos que introduziram distribuições de probabilidade alternativas para modelagem de fenômenos limitados no intervalo \((0, 1)\). Entre os principais trabalhos estão:

• Distribuição unit-Weibull 1 2;
• Distribuição unit-Lindley;
• Distribuição unit-Gaussiana;
• Distribuição unit-Gompertz;
• Distribuição unit-Birnbaum-Saunders.

Referências

Barndorff-Nielsen, O.; Jorgensen, B. Some parametric models on the Simplex. Journal of Multivariate Analysis, v. 39, n. 1, p. 106–116, 1991.

Cepeda-Cuervo, E. Variability modeling in generalized linear models. Tese (Doutorado) — Mathematics Institute, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2001.

Ferrari, S.; Cribari-Neto, F. Beta regression for modelling rates and proportions. Journal of Applied Statistics, v. 31, n. 7, p. 799–815, 2004.